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그림 12  음의 무게를 가진 그래프

예를들어 그림 12 와 같은 그래프에서는 b 와 c 사이에 음의 무게를 가진 변이 있다. 출발점을 s 로 해서 Dijkstra 알고리즘을 적용하면 우선 a 까지의 길이가 1 인 최단 경로를 구하게 된다. 다음은 s 와 a 에서 b 와 c 로 향하는 변만을 조사하므로 b 가 s 에 가장 가깝다고 생각한다. 이 「최단 경로」는 s → a → b 로 길이는 3 이다. 그 후에 s 에서 c 로의 최단 경로의 길이가 1 이라는 것을 알게 된다.
그러나 c 를 택하기 전에 b 를 선택한 「욕심많은」선택은 넓은 시야에서 보면 잘못된 것이다. s → a → c → b 라는 경로의 길이는 2 이므로 b 의 최단 거리가 3 이라는 것은 잘못되었다.

문제에 따라서는 최적해를 구하는 탐욕 알고리즘이 존재하지 않을지 모르지만 상당한 확률로 최적해에 가까운 답을 구하는 탐욕 알고리즘이 존재하는 경우가 있다. 대개는 최적해보다도 수 퍼센트 정도 코스트가 커도 관계없다. 이와 같은 경우 최적해에 가까운 답을 구하는 보다 빠른 방법이 탐욕 알고리즘이 되는 경우도 많다. 모든 경우를 조사하지 않으면 최적해가 구해지지 않는 문제라면 탐욕 알고리즘과 그외의 발견적인 방법을 사용해서 (최적해가 아닐지도 모르지만), 최적해에 가까운 답을 구하는 것이 보다 현실적이다.
최적해를 구하기 위해서는 모든 가능성을 조사해야 하는데, 그렇게 되면 입력의 크기를 지수로 하는 시간이 걸린다는 유명한 문제 (순회 세일즈맨 문제) 를 소개하기로 하자.

순회 세일즈맨 문제 (traveling salesman problem, 이후 「TSP」라고 한다) 란 변에 무게가 할당된 무방향 그래프에서 변의 할당된 무게의 합이 가장 적은 폐로 (모든 정점을 단 한번만 포함하는 폐로) 를 구하는 문제이다. 이러한 폐로를 해밀턴 폐로(hamilton cycle) 라고 한다.

그림 13 에 순회 세일즈맨 문제의 한 예를 나타냈는데 이 그래프에는 정점이 6개 있다. 각 정점의 좌표가 주어져 있으므로 변의 길이를 그 변의 무게라고 한다. TSP 에서는 일반적으로 대상이 되는 그래프를 모든 두 정점 사이에 변이 존재하는 완전 그래프라고 가정하는데, 변의 무게가 유클리드의 거리가 아닌 일반적인 경우에는 존재하지 않는 변은 무게가 무한 대라고 생각하면 된다.

그림 13 순회 세일즈맨 문제의 예

그림 13 에 있는 6 도시를 순회하는 네 가지 폐로의 예를 그림 14 에 나타낸다. 그들 각 폐로의 길이는 52.13, 49.73, 48.39, 49.78 로 그림 6 ~ 14 에 나타낸 폐로 중에서 (c) 가 가장 짧다.

그림 14  폐로의 예

TSP 에는 실용적인 응용이 몇 가지 있는데, 이름이 나타내는 바와 같이 여러개의 지점을 방문하고 나서 출발점에 되돌아오는 코스를 정하는데 사용할 수 있다. 예를들면 우편 배달부가 다니는 코스는 TSP 를 사용해서 정할 수 있는데 이 경우 각 정점은 우체통의 장소를 나타내고 변의 코스트는 두 정점간의 이동 시간을 나타낸다.
TSP 에 대한 탐욕 알고리즘으로서는 kruskal 알고리즘의 변형을 생각할 수 있다. Kruskal 알고리즘과 마찬가지로 우선 가장 짧은 변을 선택한다. Kruskal 알고리즘에서는 선택하려는 변을 추가하더라도 폐로가 구성되지 않는 변을 하나씩 확정했다. TSP인 경우에는 선택하려는 변을 추가했을 때,

(1) 차수 (degree: 정점에 연결된 변의 수) 가 3 이상인 정점이 되지 않고,
(2) 폐로가 구성되지 않는 (단, 선택한 변의 수가 주어진 문제의 정점수와 같은 경우는 제외) 변을 확정한다.

위의 두 가지 조건을 이용해서 차례대로 변을 선택하면 서로 연결되어 있지 않은 경로가 여러 개 구성되고, 마지막 스텝에서 남은 하나의 경로가 닫혀서 폐로가 된다.
예를들면, 그림 13 에서는 변 (d, e) 가 길이 3 으로 가장 짧으므로 우선 이것을 선택한다. 다음은 길이가 5 인 변 (b, c), (a, b), (e, f) 를 조사하는데 이들의 순서는 아무래도 좋다. 세 개 다 조건을 만족하고 있으므로 탐욕 방법을 사용하면 세 개를 모두 확정해야 한다. 그리고 나서 남는 변 중에서 가장 짧은 것은 (a, c) 로 그 변의 길이는 7.08 이다. 그러나 변 (a, c) 는 (a, b) 및 (b, c) 와 함께 폐로를 형성하므로 확정할 수 없다. 마찬가지로 다음의 변 (d, f) 도 버린다. 다음에 변 (b, e) 를 조사하지만 이 변을 추가하면 b 와 e 의 치수가 3이 되어 버리므로 지금까지 선택한 변과 합해도 폐로가 되지 않기 때문에 확정할 수 없다. 마찬가지로 (b, d) 도 버린다. 다음에 (c, d) 를 선택하면 a → b → c → d → e → f 라는 하나의 경로가 구성되는데, 이 경로에 마지막으로 (a, f) 를 선택해서 추가하면 그림 15 와 같은 폐로가 완성된다.

그림 15  순회 세일즈맨 문제의 답

3. 동적 계획법 (dynamic programming)


재귀적인 기법은 문제를 간단히 부분 문제로 분할할 수 있고, 부분 문제의 크기의 합을 적게 유지할 수 있는 경우에 유효하다. 그러나, 크기가 n인 문제를 단순히 분할해서 각 부분 문제의 크기가 균형이 맞지 않는 문제로 분할되었을 때에는 재귀적 알고리즘의 복잡도는 아마 지수 함수적으로 증가할 것이다. 이런 경우에는 「동적 계획법」이라는 기법을 이용하면 효율좋은 알고리즘을 설계할 수 있다.
문제를 크기가 적은 부분 문제로 분할한 뒤 부분 문제에 대한 답을 구하기 위해 같은 부분 문제를 몇 번이고 반복해서 해결할 필요가 있는 경우가 있다. 그 때에는 한번 해결한 부분 문제의 해답을 「표」에 기억해 두었다가 필요할 때에 그 표를 참조하게 하면 새로 계산하는데 걸리는 시간을 절약할 수 있게 되어 효율이 좋은 알고리즘을 얻을 수가 있다.
이와 같이 경우에 따라서는 언젠가는 해결하게 될 모든 부분 문제의 해답을 표로 해두는 것이 프로그램을 작성하기 쉬운 경우도 있다. 어떤 부분 문제가 실제로 전체의 문제 해결 과정에서 필요하게 되는지 어떤지는 생각하지 않고 일단 표를 작성하는데, 이와 같이 주어진 문제를 해결하기 위해 부분 문제에 대한 답을 표에 기입하는 기법을 동적 계획법 (dynamic programming) 이라고 한다. 동적계획법이라는 이름은 제어 이론에서 나온 것이다.

본질적으로는 동적 계획법은 모든 부분 문제에 대한 답을 계산하는데, 계산은 크기가 작은 부분 문제로부터 보다 큰 부분 문제로 답을 표에 기록하면서 나아간다. 동적 계획법의 장점은 한번 어떤 부분 문제가 해결되면 답을 기억해 둠으로써 결코 두 번 다시 계산되지 않는다는 것이다. 이 기법은 간단히 예를 보면 쉽게 이해할 수 있을 것이다.

먼저 다음과 같은 n 개의 행렬을 곱하는 문제를 생각하기로 한다. 단, 각 행렬 의 크기는 행, 열로 한다.

       

행렬을 곱하는데 어떤 알고리즘을 이용하더라도 행렬이 곱해지는 순서가 M 을 계산하는데 필요한 연산의 총수에 영향을 미친다.

연산 순서와 연산하는 횟수와의 관계를 보기 위해 다음과 같은 실제적인 행렬 곱셈을 예로 들어보기로 하자.

        

괄호속에 있는 수는 각 행렬 의 치수를 나타낸다. 일반적인 방법을 이용하면 p × q차 행렬과 q × r 차 행렬의 곱셈은 p × q × r 번의 연산을 필요로 하므로, M 을 의 순으로 계산하면 125000 번의 연산이 필요하지만 순으로 계산하면 2200 번의 연산이면 된다. 이들 연산수를 살펴보기 위해 다음과 같은 동적 계획법을 이용하면 된다.

행렬의 곱셈에 필요한 연산수를 최소화하기 위해서는 n 개의 행렬을 곱하는 순서를 모두 체크하면 되지만 이것은 막대한 시간과 노력을 필요로 한다. 그러나, 동적 계획법을 이용하면 복잡도가 O(n³) 의알고리즘을 얻을 수가 있는데, 행렬의 곱셈을 하는데 연산수가 가장 적은 방법을 찾기 위해서는 동적 계획법을 어떻게 이용하는지를 설명하기로 한다.

m_{i, j}가 m_i × M_i+1 × … × M_j 를 계산하는데 걸리는 시간 중에서 가장 적은 시간이라 하고, 이것을 식으로 나타내면 다음과 같다.

        

위의 식에서 첫 번째 항인 m_{i, k} 는 M' = M_i × M_i+1 × … × M_k 를 계산하는데 걸리는 시간 중에서 가장 적은 시간을 나타내고, 두 번째 항인 m_{k+1, j} 는 M″ = M_k+1 × M_k+2 × … × M_j 를 계산하는데 걸리는 시간 중에서 가장 적은 시간을 나타낸다. 단, M′ 는 r_i-1 × r_k 차 행렬, M″ 는 r_k × r_j 차 행렬이다. m_{i, j} 는 모든 k(i  ≤  k  ≤ j - 1) 에 대해 이들 세 항을 합한 값이 가장 적은 값이라는 것을 나타낸다.
이 동적 계획법에 의한 방법에서는 첨자의 값의 차가 적은 순으로 m_{i, j} 를 계산해 간다. 즉, 모든 i 에 대해 m_{i, i} 를 계산하는 것에서부터 시작해서 m_{i, i+1} 과 m_{i, i+2} 순으로 계산한다.

M = M₁ × M₂ × M₃ × M₄ 를 계산하는데 이 알고리즘을 적용하기로 한다. 단, r₀, r₁, r₂, r₃, r₄는 10, 20, 50, 1, 100 이고 m_{i, j} 의 값을 계산한 결과는 다음과 같다. 따라서, 곱셈을 하는데 필요한 최소의 연산수는 2200 이 된다. 

 

그림 7  7 각형과 삼각형 분할의 예

그림 8  삼각형 분할의 예

그림 7 에 7 각형과 각 정점에 대한 (x, y) 좌표를 나타내는데 거리 함수는 일반적인 유클리드 거리로 한다. 그림 7 에서 삼각형 분할의 한 예를 점선으로 나타냈지만 예를들면 그림 8과 같은 삼각형 분할이 있으므로 이것은 최소삼각형 분할이 아니다. 그림 7과 같은 분할의 코스트는 변 (1, 3), (1, 4), (1, 6), (4, 6) 의 길이의 합계
즉, 이고, 그림 8 과 같은 분할 코스트는 변 (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6) 의 길이의 합계 즉, =45.16이다.
이 삼각형 분할 문제에 동적 계획법을 적용하기 전에 삼각형 분할이 가지는 두 가지 성질을 정리해 두고, 그들 성질을 알고리즘 설계에 이용하기로 한다. 다각형에는 시계 방향으로 n 개의 정점 v₁, v₂, …, v_n 이 있다고 한다.

[성질 1]  
세 정점 이상으로 구성된 다각형을 삼각형 분할했을 때 다각형의 변과 접해 있는 두 정점은 반드시 하나 이상의 선과 접해 있다. 만일 v_i 과 v_i-1 이 모두 어떠한 선과도 접하지 않는다고 하면, 변 (v_i, v_i-1) 이 에워싸고 있는 영역에는 변(v_i-1, v_i) 과 (v_i+1, v_i+2) 외에 하나 이상의 변이 포함된다. 이렇게 되면 이 영역은 삼각형이 되지 않는다.

[성질 2]
어떤 삼각형 분할에서 (v_i, v_j) 를 선이라고 하면, (v_i, v_k) 와 (v_k, v_j) 가 모두 다각형의 변 혹은 선이 되는 v_k 가 여러 개 존재한다. 그렇지 않으면 (v_i, v_j) 가 삼각형이 아닌 영역을 에워싸고 있는 것이 된다.

다음은 앞의 두 개의 성질을 이용하여 최소삼각형 분할 문제를 해결하는 알고리즘을 설명하기로 한다.

최소삼각형 분할을 하기 위해 우선 인접하는 두 정점 v₀ 과 v₁을 선택한다. 위에 기술한 두 성질은 임의의 삼각형 분할에서 성립하므로 최소의 삼각형 분할에서도 성립한다. 따라서 (v₁, v_k) 와 (v_k, v₀) 가 모두 삼각형 분할에서의 선 혹은 변이되는 정점 v_k 가 존재한다. 이 때, 여러 개의 k 가 존재하면 어느 경우에 어느 정도 좋은 삼각형 분할을 할 수 있는지를 생각해야 하는데 n 개의 정점을 가진 다각형이라면 모두 (n - 2) 개의 선택이 가능하다.

어느 k 를 택하더라도 그로 인해 생기는 부분 문제는 많아야 두 개인데, 그들은 선택한 선의 양쪽 끝에 있는 두 정점을 잇는 원래의 다각형의 변에 의해 구성되는 두 개의 다각형에 대응한다. 예를들면 정점 v₃ 를 선택하면 그림 9에 나타내는 두 개의 부분 문제가 생긴다.

그림 9  v₃ 을 택했을 때의 부분 문제

다음은 그림 9(a), (b) 의 다각형에 대한 최소삼각형 분할을 해야 하는데, 그를 위해서는 또 인접하는 두 정점에서 나오는 선을 모두 생각해야 한다고 여겨진다. 예를들면 그림 9(b) 를 해결하기 위해서 선 (v₀, v₃) 과 같은 부분 문제의 선과 그외의 정점으로 삼각형을 만들어야 한다. 가령 v₄ 를 선택했다고 하면 삼각형 (v₀, v₃, v₄) 와 부분 문제 (v₀, v₄, v₅, v₆) 이 생기고, 이 부분 문제 중에서 원래의 다각형의 선은 하나 뿐이다. 한편, v₄ 가 아니라 v₅ 를 선택하면 부분 문제 (v₃, v₄, v₅) 와 (v₀, v₅, v₆) 이 생기는데 각 부분 문제에 대한 선은 (v₃, v₅) 와 (v₀, v₅) 뿐이다.

일반적으로 정점 v_i 에서 시작해서 시계 방향으로 s 개의 정점 v_i, v_i+1, …, v_i+s-1 로 구성되는 다각형에 대한 최소삼각형 분할을 구하는 문제를 「정점 v_i 에서 시작하는 크기가 s 인 부분 문제」라고 하고, 이후 이를 S_{i, s} 라고 표현하기로 한다. 예를들면 그림 9 (a) 는 S_{0, 4} 이고 그림 9(b) 는 S_{3, 5} 이다. S_{i, s} 를 해결하기 위해서는 다음의 세 경우를 생각할 필요가 있다.

(1) 정점 v_i+s-2 를 선택해서 선 (v_i, v_i+s-1) 및 (v_i, v_i+s-2) 와 변 (v_i+s-2, v_i+s-1) 로 삼각형을 구성하여 부분 문제 S_{i, s-1} 를 해결한다.

(2) 정점 v_i+1 을 선택해서 선 (v_i, v_i+s-1), (v_i+1, v_i+s-1) 과 변 (v_i, v_i+1) 로 삼각형을 구성하여 부분 문제 S_{i+1, s-1} 를 해결한다.

(3) 정점 v_i+k(2 ≤ k ≤ s - 3) 를 선택해서 선 (v_i, v_i+k), (v_i+k, v_i+s-1), (v_i, v_i+s-1) 로 삼각형을 구성하여 부분 문제 S_i,k+1 와 S_{i+k, s-k} 를 해결한다.

크기가 3 이하인 부분 문제를 해결하기 위해서는 아무 것도 하지 않아도 되므로, (1) ~ (3) 을 이용해서 어떤 k(1 ≤ k ≤ s - 2) 를 택해서 부분 문제 S_{i, k+1} 와 S_{i+k, s-k} 를 해결하면 되는데, 부분 문제의 분할을 그림 10 에 나타낸다.

그림 10  S_{i, s} 를 부분 문제로 분할

크기가 4 이상인 부분 문제를 해결하기 위해서는 위의 규칙을 이용해서 얻어지는 재귀적인 알고리즘을 사용하기로 하자. 이 때, 크기가 s 이상인 부분 문제를 해결하기 위한 재귀적 호출수만을 세면 모두 3^s-4 번이라는 것을 나타낼 수 있으므로, 해결해야 할 부분 문제의 수는 s 를 지수로 한 것이 된다. 문제를 분할한 후의 문제의 크기는 이 재귀적인 절차를 해결하는데 필요한 모든 스텝수와 같은데, 주어진 다각형의 정점수가 n 이므로 문제의 크기는 n 의 지수승이 된다.

그러나, 원래의 문제 이외에는 해결해야 할 부분 문제는 n(n - 4) 종류밖에 없다는 것을 알고 있기 때문에 이 해석이 어딘지 이상하다는 것은 금방 알 수 있을 것이다. 그 부분 문제라는 것은 S_{i, s}(0 ≤ i < n, 4 ≤ s(n) 이므로 재귀적인 절차에서는 같은 부분 문제를 여러 번 해결한다는 것이 분명하다. 예를들면 그림 6 ~ 7 에서 선 (v₀, v₃) 을 선택하고 그림 9(b) 의 부분 문제에서 v₄ 를 선택했다고 하면 부분 문제 S_{4, 4}를 해결해야 한다. 그러나, 처음에 변(v₀, v₄) 를 선택했을 때와 처음에 선(v₁, v₄) 를 선택해서 부분 문제 S_{4, 5} 를 해결할 때에 v₁ 과 v₄ 를 정점으로 하는 삼각형을 완성시키기 위해서 v₀ 을 선택해도 역시 같은 부분 문제 v_{4, 4} 를 해결하게 된다.

이로부터 삼각형 분할 문제를 해결할 수 있는 효율이 좋은 방법을 얻을 수가 있다. 모든 i 와 s 에 대해 S_{i, s} 를 삼각형 분할하는데 걸리는 시간 (이후, 이것을 C_{i, s} 로 표현한다) 을 계산하는 표를 만드는 것으로, 이 때 어떤 문제의 해답도 보다 적은 문제의 해답에만 의존하므로 이 표를 크기순으로 메워가면 된다. 즉, 크기 S( = 4, 5, …, n - 1) 에 대해 모든 정점 i 에 대한 문제 S_{i, s}) 의 최소값을 써넣는다. 크기 0 ≤ s < 4 인 문제도 포함해 두면 편리하지만 s < 4일 때 S_{i, s} 의 코스트가 0 이라는 것을 잊어서는 안된다.

여기서 부분 문제를 정하기 위한 C_{i, s}(S ≥ 4) 를 계산하는 식은 다음과 같다.

        C_{i, s} = min{C_{i, k+1} + C_{i+k, s-k} + D(v_i, v_i+k) + D(v_{i +k,} v_i+s-1)}

여기서 D(v_p, v_q) 는 정점 v_p 와 v_q 가 다각형상에서 인접하지 않을 때는 이 두 정점을 연결하는 선의 실이를 나타내고 v_p 와 v_q 가 인접하고 있을 때는 0 으로 한다.

그림 7 에 있는 다각형과 거리를 토대로 하여 0 ≤ i < 6, 4 ≤ s < 6 에 대한 C_{i, s} 를 갖는 표를 다음에 나타냈는데, s < 3 인 행에 있는 값은 모두 0 이다. i = 0 인 열과 s = 7 인 행에 C_{0, 7} 의 값이 들어 있는데 이 값은 같은 행에 있는 다른 값과 마찬가지로 다각형 전체의 삼각형 분할을 나타내고 있다. 왜냐하면, 변(v₀, v₆) 을 보다 큰 다각형의 변이라고 생각해서 그림 7 에 있는 다각형은 큰 다각형의 부분 문제라고 생각하면 된다. 큰 다각형은 v₇ 에서 v₁ 까지의 사이에 여러 개의 정점열을 갖고 있을 것이다. s = 7 인 행은 모두 C_{0, 7} 과 같은 값을 갖는다.

 

2. 균형법


앞에서 설명한 분할 통치법의 예에서는 모두 원래의 문제를 크기가 같은 부분 문제로 분할했는데, 좋은 알고리즘을 설계하기 위한 기본적인 지침 중에 부분문제의 크기가 균등해야 한다는 것이 있다. 이것을 설명하기 위해서 정렬의 예를 사용해서 문제를 균형이 맞지 않는 크기를 가진 부분 문제로 분할한 결과와 같은 크기로 분할한 결과를 비교해 보자. 이 예에서 균형화가 유효하다는 것은 분할 통치법에만 한정된 것이라고 생각해서는 안된다.

n 개의 정수로 구성된 데이터를 크기가 적은 순으로 정렬하는 문제를 생각해 보자. 이 문제를 해결하기 위한 가장 단순한 정렬법은 데이터열을 앞에서부터 차례대로 조사해서 가장 작은 요소를 찾아낸 뒤, 제일 왼쪽에 있는 데이터와 교환하고, 그 다음에는 제일 왼쪽에 있는 데이터를 제외한 데이터열을 앞에서부터 차례대로 조사하여 가장 작은 요소를 찾아낸 뒤, 왼쪽에서 두 번째에 있는 데이터와 교환하는 것을 반복하는 것이다. 이 과정을 나머지 데이터에 대해서도 반복 적용함으로써 n 개의 데이터에 대한 정렬을 할 수 있다.

이 알고리즘에 의해 정렬되는 요소 사이에서 행해지는 비교 횟수를 평가해 보자. 제일 적은 데이터를 정하기 위해서는 n - 1 번 비교를 해야 하고, 두 번째 작은 데이터를 정하기 위해서는 n - 2 번, 그 다음 데이터를 정하기 위해서는 n - 3 번을 비교해야 한다. 전체 비교 횟수는 이들을 합하면 되므로,

        

이 되어 O() 이 된다.

이 정렬 알고리즘은 크기가 다른 부분 문제로 분할하는 분할 통치법을 재귀적으로 적용한 것이라고 볼 수가 있지만 크기 n에 대해서는 효율이 좋지 않으므로 오더상으로 효율이 좋은 정렬 알고리즘을 설계하기 위해서는 부분 문제의 크기를 균등화해야 한다. 크기가 n 인 문제를 크기 1 과 크기 n - 1 인 두 부분 문제로 분할하지 않고, 문제를 크기가 거의 반인 두 개의 문제로 분할해야 하는데, 이것은 앞에서 이미 설명한 합병 정렬이라는 정렬 알고리즘에서 이용되고 있다.

합병 정렬에 대해서는 이미 설명했으므로 알고리즘에 대한 설명은 생략하지만 이미 설명한 바와 같이 이 알고리즘의 복잡도는 O(n log n) 이다.

이와 같이 부분 문제의 크기를 균등하게 함으로써 훨씬 효율이 좋은 알고리즘을 만들 수 있게 된다.

1. 분할 통치법(divide and conquer)


효율이 좋고 알고리즘을 설계하는 기법으로서 가장 널리 사용되고 있는 기법중에 분할 통치법 (divide-and-conquer) 이라는 것이 있는데, 분할 통치법에서는 해결하려고 하는 문제 (크기를 n 이라고 한다) 를 크기가 보다 작은 여러 개의 부분 문제로 분할한다. 단, 이 때 크기가 작은 부분 문제에 대한 답으로부터 원래의 문제에 대한 해답을 쉽게 얻을 수 있게 분할할 필요가 있다. 이 기법에 대해서는 합병 정렬과 2 진 탐색목 등 몇 가지 응용 예를 지금까지 살펴보았다.

우선 문제를 분할하면 어느 정도 효과가 있는지를 예를 통해 살펴보기로 하자.

탁구 대회를 열어서 가장 탁구를 잘 하는 사람과 가장 못하는 사람을 정하려고 한다. 실력이 좋은 사람이 항상 이긴다고 했을 때 몇 번 시합을 하면 되는가를 계산하는 것이 문제이다.

여기서 탁구 대회 참가 인원을 n 명이라고 하자. 이 문제를 해결하기 위해서 스포츠 경기시에 일반적으로 많이 이용하는 「토너먼트법」을 이용하는데, 첫 번째 토너먼트에서는 가장 강한 사람을 결정하고, 그 다음에는 나머지 n - 1명 중에서 마찬가지로 토너먼트법을 이용해서 가장 약한 사람을 정하는 방법을 이용하기로 하자 (그림 1). 그림 1 에서 굵은 선은 시합에서 이긴 사람을 나타내고, × 표시가 있는 것은 진 사람을 나타낸다.

그림 1  탁구 대회

그림 1 과 같은 방법을 이용하는 경우에는 한번 시합을 할 때마다 한 사람씩 대상에서 제외되므로, n 명 중에서 가장 강한 사람을 정하기 위해서는 n - 1 번 시합을 하게 된다. 따라서 이 방법에서 필요한 시합수를 T₁ (n) 이라고 하면,

        

 이 된다.

그러나, 조금만 곰곰히 생각해 보면 그림 1 과 같은 방법을 이용하는 경우에는 불필요한 시합을 많이 한다는 것을 금방 알 수 있다. 첫 번째 토너먼트에서 이긴 사람 (약 n / 2 명) 은 자기가 이긴 상대보다는 강하다는 것은 알고 있으므로 다음 번에 실시하는 토너먼트에는 출전할 필요가 없다. 두 번째 토너먼트전은 첫 번째 토너먼트에서 한번도 이기지 못하고 진 사람만을 모아서 실시하면 되므로, 두 번째 토너먼트에 출전하는 사람수를 k 라고 하면 두 번째 토너먼트전을 운영하기 위해서는 k - 1 번 시합을 하면 된다.

이 방법으로 경기를 할 때의 시합수를 평가히가 위해서는 k 를 구해야 하는데, 이를 위해서는 첫 번째 토너먼트전을 구체적으로 어떻게 행하는지가 문제가 된다. 이 때 전년도 우승자에게 다른 사람이 차례로 한 사람씩 도전하는 방법을 택한다고 하고, 전년도 우승자가 모두에게 이기면 k 의 값은 n - 1 이 된다. 따라서, 이 방법을 이용하더라도 그림 1 의 방법과 같이 2n - 3 번 시합을 해야 한다 (그림 2).

그림 2  비능률적인 경기 운영

그러나 n 명을 거의 반씩 나눠서 첫 번째 토너먼트를 하게 하면 k 의 값은 n / 2 이 된다 (그림 3).

그림 3  능률이 좋은 경기 운영

이 때 계산을 간단하게 하기 위해 n을 짝수라 하고, 이 경우의 시합수를 T₂(n) 으로 하면,

        

이 되어, 그림 1 의 방법보다도 n / 2 - 1 번이나 시합수가 적어진다.

그러면, 이번에는 또 다른 방법을 생각해 보기로 하자.

우선 전체를 반으로 나눠서 각 팀에서 따로따로 최강자와 최약자를 결정한 후, 양 팀의 최장자끼리 시합을 하게 해서 전체의 최강자를 정하고, 최약자끼리 시합을 하게 해서 최약자를 정하면 된다 (그림 4).

그림 4  분할에 의한 최강ㆍ최약자 결정

이 방법을 이용한 경우의 시합수를 T₃(n) 으로 하면,

        

가 된다. 또, 분명히

        

이다. 이 두 식을 이용하면 각 n 에 대해 다음과 같이 되는데, 계산을 간단하게 하기 위해 n = 2p 라고 한다.

        

        

        

        

        

이것을 n 에 대한 일반식으로 나타내면,

       

이 된다.

여기서 설명한 마지막 방법 (그림 4 의 방법) 에서는 우선 전체를 반으로 나눠서 (분할) 각각에 대해 원래와 같은 문제를 해결하고 마지막에 간단한 처리를 해서 전체에 대한 해답을 구한다 (통합). 이와 같이 전체를 분할해서 각각을 따로따로 처리하고 마지막에 통합하는 방법을 「분할 통치법」이라고 한다 (그림 5).

그림 5  분할 통치법의 원리

그림 6  하노이 탑 문제의 초기 상태

분할 통치법의 또 하나의 예로서 하노이의 탑이라는 게임을 생각하기로 하자.

그림 6 과 같이 세 개의 막대 A, B, C 가 있는데, 처음에는 A 라는 막대에 여러 개의 원판이 크기순으로 즉, 어떠한 원판을 보더라도 위에는 그보다 적은 원판이 있고 아래에는 그보다 큰 원판이 놓여져 있다. 이 게임의 목적은 원판을 막대에서 막대로 한번에 하나씩 이동해서 모든 원판을 막대 B 로 옮기는 것이다. 단, 어떠한 경우에도 적은 원판 위에는 큰 원판을 둘 수 없다.
이 게임은 다음과 같은 단순한 알고리즘으로 해결할 수 있다는 것을 알 수 있다. 막대가 삼각형의 형태로 배치되어 있다고 하고 홀수 번째에는 가장 작은 원판을 시계 방향으로 하나만 이동하고, 짝수 번째에는 제일 작은 원판을 제외한 나머지 원판 중에서 이동할 수 있는 것만을 하나 이동한다.
이 알고리즘은 간단하고 정당하지만 왜 정당한지를 금방 알기는 어렵지만 다음과 같은 분할 통치법을 이용하면 정당성도 금방 이해할 수 있을 것이다.

원판 n 장을 A 에서 B 로 이동하는 문제는 크기가 n - 1 인 두 개의 부분 문제로 구성된 것이라고 생각할 수 있다. 우선 n - 1장의 원판을 막대 A 에서 막대 C 로 옮기면 막대 A 에 있던 n 번째 작은 원판 (가장 큰 원판) 을 옮길 수 있는 상태가 되므로 그 원판을 A 에서 B 로 옮긴다.
그리고 나서, n - 1 장의 원판을 막대 C에서 B로 이동한다. n-1장의 원판을 옮기기 위해서는 이 방법을 재귀적으로 사용하면 되는데, 여기서 이동하는 n - 1 장의 원판은 다른 어느 원판보다도 작으므로 이동할 때에 막대 A, B, C 의 제일 윗부분에는 어떠한 원판이 있는지를 생각할 필요가 없다. 실제로 여러 개의 원판이 어떻게 이동하는지는 알기 어렵고, 재귀 호출이 반복되므로 이것을 하나하나 체크하기는 힘들지만, 이 알고리즘의 아이디어는 이해하기 쉽고 정당하다는 것을 증명하는 것도 비교적 쉽다. 일반적으로 이와 같은 분할 통치법을 이용한 알고리즘은 그렇지 않은 알고리즘보다 효율이 좋다.
분할 통치법을 이용해서 알고리즘을 설계할 때에는 문제를 분할하는 방법 및 각 부분 문제에 대한 답을 통합시키는 방법도 고려해야 한다. 특히 부분 문제의 답에서 전체의 문제에 대한 답이 비교적 간단하게 얻어지지 않으면 이 기법은 사용할 수 없는 것이라고 생각해야 한다. 문제의 분할법도 알고리즘의 성능에 영향을 미치기 때문에 중요한다, 대부분의 경우 가능한 균등한 크기로 분할하는 것이 바람직하다.

부분 문제를 해결하기 위해서는 같은 프로시저를 재귀적으로 호출하는 것이 간단하고, 이 재귀 호출은 데이터수가 1 이 될 때와 같이 문제의 답이 분명하게 되는 시점에서 종료하게 된다.